[백준/C++] 2098 - 외판원 순회

풀이 시간:  약 3H

시간 복잡도: O(2^N * N^2)

공간 복잡도: O(N^2) + O(N * 2^N)

참고 자료: https://yabmoons.tistory.com/358

문제

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 16) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

출력

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

문제 풀이

본 문제는 dfs 알고리즘과 비트마스킹을 사용하여 풀었다.

전체 코드

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define INF 1e9
using namespace std;
vector<vector<int>> W, C;
int N;

int dfs(int cur_node, int cur_bit) {
   if (cur_bit == (1 << N) - 1) { // 모든 도시를 다 방문했을 경우
      if (W[cur_node][0] == 0) return INF; // 시작 도시로 돌아갈 수 없는 경우, INF 반환 
      else return W[cur_node][0]; // 시작 도시로 돌아가는 비용 반환
   }
   
   if (C[cur_node][cur_bit] != -1) return C[cur_node][cur_bit]; // 메모이제이션, 이미 계산된 상태라면 해당 값 반환
   C[cur_node][cur_bit] = INF; // 아직 계산되지 않았다면, 초깃값 INF로 설정

   for (int i = 0; i < N; ++i) {
      if (W[cur_node][i] == 0) continue; // 현재 도시에서 i 도시로 갈 수 없는 경우
      if ((cur_bit & (1 << i)) == (1 << i)) continue; // i 도시를 이미 방문한 경우

      // 현재 상태에서 i 도시로 이동하는 경우의 비용을 계산하고, 최소 비용을 업데이트
      C[cur_node][cur_bit] = min(C[cur_node][cur_bit], W[cur_node][i] + dfs(i, cur_bit | 1 << i));
   }
   return C[cur_node][cur_bit]; // 계산된 최소 비용 반환
}

int main() {
   ios_base::sync_with_stdio(false);
   cin.tie(0); cout.tie(0);
   cin >> N;
   W = vector<vector<int>>(N, vector<int>(N));
   C = vector<vector<int>>(N, vector<int>(1 << N, -1));
   for (int i = 0; i < N; ++i)
      for (int j = 0; j < N; ++j)
         cin >> W[i][j];
   cout << dfs(0, 1);
	return 0;
}

 

 

https://www.acmicpc.net/problem/2098

2098번: 외판원 순회